ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ К полуправильным многогранникам относятся правильные n- угольные призмы, все ребра которых равны, и, так называемые, антипризмы с равными ребрами. На рисунке изображены правильная пятиугольная призма и пятиугольная антипризма. Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники, возможно, с разным числом сторон, и все многогранные углы равны, причем один из них в другой можно перевести движением самого многогранника. ТЕЛА АРХИМЕДА Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников, имеется еще 13 полуправильных многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед (287 – 212 гг. Э.) - это тела Архимеда. Областью интересов Архимеда была не только математика, но и физика, оптика, астрономия и др.

1. Правильные И Полуправильные Многогранники Презентация
2. Полуправильные Многогранники Презентация
3. Звездчатые Многогранники Презентация

Он был изобретателем многих машин и механизмов, дошедших до наших дней.С помощью изобретенного им метода исчерпывания он вычислил длину окружности и получил приближения числа π, Он вычислил площадь круга, объем и площадь поверхности шара и мн. Цилиндр с вписанным в него шаром изображены на его надгробном камне в Сиракузах. Усеченный тетраэдр Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников, имеется еще 13 полуправильных многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед - это тела Архимеда. Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией 'усечения', состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Какую часть ребер нужно отсекать плоскостями от вершин тетраэдра, чтобы полученный многогранник был полуправильным, называемым усеченный тетраэдр. Усеченный куб Какую часть ребер нужно отсекать плоскостями от вершин куба, чтобы полученный многогранник был полуправильным, называемым усеченный куб.

Усеченный октаэдр Какую часть ребер нужно отсекать плоскостями от вершин октаэдра, чтобы полученный многогранник был полуправильным, называемым усеченный октаэдр. Усеченный икосаэдр Какую часть ребер нужно отсекать плоскостями от вершин икосаэдра, чтобы полученный многогранник был полуправильным, называемым усеченный икосаэдр. Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра.

Усеченный додекаэдр Какую часть ребер нужно отсекать плоскостями от вершин икосаэдра, чтобы полученный многогранник был полуправильным, называемым усеченный додекаэдр. Кубооктаэдр Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра. Икосододекаэдр Аналогично, если в икосаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдр. Его поверхность состоит из граней икосаэдра и додекаэдра.

Данная презентация посвящена теме “ Полуправильные многогранники ”. Презентация на тему Полуправильные многогранники к уроку по математике.

Упражнение 1 Какой многогранник получится, если в тетраэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины? Упражнение 2 Какой многогранник получится, если в октаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины? Упражнение 3 Какой многогранник получится, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины? Усеченный кубооктаэдр Полуправильный многогранник, изображенный на рисунке называют усеченный кубооктаэдр, хотя он и не получается усечением кубооктаэдра. Его поверхность состоит из правильных восьмиугольников, шестиугольников и квадратов.

Усеченный икосододекаэдр Полуправильный многогранник, изображенный на рисунке называют усеченный икосододекаэдр, хотя он и не получаются усечением икосододекаэдра. Его поверхность состоит из правильных десятиугольников, шестиугольников и квадратов. Ромбокубооктаэдр На рисунке изображен многогранник, называемый ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов.

Ромбоикосододекаэдр На рисунке изображен многогранник, называемый ромбоикосододекаэдр. Его поверхность состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. Курносый куб На рисунке изображен многогранник, называемый курносый (иногда называют плосконосый) куб. Его поверхность состоит из граней куба, окруженных правильными треугольниками. Курносый додекаэдр Последний многогранник Архимеда называется курносый (плосконосый) додекаэдр. Его поверхность состоит из граней додекаэдра, окруженных правильными треугольниками. Упражнение 4 Из каких граней состоит усеченный тетраэдр?

Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Четыре шестиугольных и четыре треугольных граней; В = 12, Р = 18, Г = 8. Упражнение 5 Из каких граней состоит усеченный октаэдр? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Восемь шестиугольных и шесть квадратных граней; В = 24, Р = 36, Г = 14. Упражнение 6 Из каких граней состоит усеченный октаэдр?

Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двадцать шестиугольных и двенадцать пятиугольных граней; В = 60, Р = 90, Г = 32.

Упражнение 7 Ребро куба равно 1. Найдите ребро полученного из него усеченного куба. Ответ: Упражнение 8 Из каких граней состоит усеченный куб?

Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Шесть восьмиугольных и восемь треугольных граней; В = 24, Р = 36, Г = 14.

Психология труда учителя: Кн. — М.: Просвещение, 1993. Маркова психология труда учителя онлайн.

Упражнение 9 Ребро додекаэдра равно 1. Найдите ребро полученного из него усеченного додекаэдра. Ответ: Упражнение 10 Из каких граней состоит усеченный додекаэдр? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двенадцать десятиугольных и двадцать треугольных граней; В = 60, Р = 90, Г = 32. Упражнение 11 Ребро куба равно 1.

Найдите ребро полученного из него кубооктаэдра. Ответ: Упражнение 12 Из каких граней состоит кубооктаэдр? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Шесть квадратных и восемь треугольных граней; В = 12, Р = 24, Г = 14. Упражнение 13 Ребро додекаэдра равно 1. Найдите ребро полученного из него икосододекаэдра.

Ответ: Упражнение 14 Из каких граней состоит икосододекаэдр? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двенадцать пятиугольных и двадцать треугольных граней; В = 30, Р = 60, Г = 32. Упражнение 15 Из каких граней состоит усеченный кубооктаэдр? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Шесть восьмиугольных, восемь шестиугольных и двенадцать квадратных граней; В = 48, Р = 72, Г = 26.

Упражнение 16 Из каких граней состоит усеченный икосододекаэдр? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двенадцать десятиугольных, двадцать шестиугольных и тридцать квадратных граней; В = 120, Р = 180, Г = 62. Упражнение 17 Из каких граней состоит ромбокубооктаэдр?

Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Восемнадцать квадратных и восемь треугольных граней; В = 24, Р = 48, Г = 26. Упражнение 18 Из каких граней состоит ромбоикосододекаэдр?

Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двенадцать пятиугольных, тридцать квадратных и двадцать треугольных граней; В = 60, Р = 120, Г = 62. Упражнение 19 Из каких граней состоит курносый куб? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Шесть квадратных и тридцать две треугольных граней; В = 24, Р = 60, Г = 38. Упражнение 20 Из каких граней состоит курносый додекаэдр? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)?

Ответ: Двенадцать пятиугольных и восемьдесят треугольных граней; В = 60, Р = 150, Г = 92. Упражнение 21 На рисунке б) изображён многогранник, который называется псевдоархимедовым. Как он получен из ромбокубооктаэдра (рис.

Является ли он полуправильным многогранником? Ответ: Этот многогранник получается из ромбокубооктаэдра поворотом нижней восьмиугольной чаши на 45. Он не является полуправильным многогранником. Упражнение 22 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Усеченного тетраэдра. Упражнение 23 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Усеченного октаэдра.

Упражнение 24 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Усеченного куба.

Упражнение 25 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Кубооктаэдра. Упражнение 26 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Пятиугольной антипризмы. Упражнение 27 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Усеченный икосаэдр. Упражнение 28 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке?

Ответ: Усеченный додекаэдр. Упражнение 29 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Икосододекаэдр.

Упражнение 30 Объединением каких многогранников является многогранник, представленный на рисунке? Какой многогранник является их пересечением? Ответ: Куб и октаэдр. Их пересечением является кубооктаэдр.

Упражнение 31 Разрежьте четыре равных куба на две части каждый и сложите из них усеченный октаэдр. Ответ: Решение представлено на рисунке.

Каждый куб разрезается на две равные части так, что сечениями являются правильные шестиугольники. Усеченный куб Выпуклый многогранник называются равногранно полуправильным, если его гранями являются равные многоугольники и все многогранные углы – правильные. Эти многогранники двойственны полуправильным многогранникам. На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному кубу. Его гранями являются равные треугольники.

Усеченный тетраэдр На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному тетраэдру. Его гранями являются равные треугольники. Усеченный октаэдр На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному октаэдру. Его гранями являются равные треугольники.

Усеченный икосаэдр На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному икосаэдру. Его гранями являются равные треугольники. Усеченный додекаэдр На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному додекаэдру.

Его гранями являются равные треугольники. Кубооктаэдр На рисунке показан многогранник, двойственный кубооктаэдру.

Его гранями являются равные ромбы. Икосододекаэдр На рисунке показан многогранник, двойственный икосододекаэдру. Его гранями являются равные ромбы. Усеченный кубооктаэдр На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному кубооктаэдру. Его гранями являются равные ромбы.

Усеченный икосододекаэдр На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному икосододекаэдру. Его гранями являются равные ромбы. Ромбокубооктаэдр На рисунке показан многогранник, двойственный ромбокубо-октаэдру. Его гранями являются равные четырехугольники.

Курносый куб На рисунке показан многогранник, двойственный курносому кубу. Его гранями являются равные пятиугольники. Курносый додекаэдр На рисунке показан многогранник, двойственный курносому додекаэдру.

Его гранями являются равные пятиугольники.

Слайд 3 Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер. Всего в природе существует пять правильных многогранников. По сравнению с количеством правильных многоугольников это – очень мало: для каждого целого n2 существует один правильный n-угольник, т.е. Правильных многоугольников – бесконечно много.

Правильные многогранники имеют названия по числу граней: тетраэдр (4 грани): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). Правильные и полуправильные многогранники. Слайд 5 Если обозначить количество углов у одной грани правильного многогранника за q, а количество граней, сходящихся в одной вершине – за p, можно получить точные характеристики каждого правильного многогранника. Вот они (первое число – q, второе – p): (3;3), (3;4), (4;3), (3;5), (5;3). При этом у куба и октаэдра, а также у икосаэдра и додекаэдра, числа p и q оказываются как бы переставленными.

Эти многогранники называют двойственными. Тетраэдр считается двойственным сам себе. У двойственных многогранников количество ребер одинаковое. Правильные и полуправильные многогранники. Слайд 6 Правильные многогранники симметричны.

Это означает, что для любого произвольно выбранного ребра AB и примыкающей к нему грани F можно так повернуть многогранник, что ребро AB перейдет в любой отличное от него ребро CD, точка A – в любой его конец (C или D), а грань F совпадет с одной из двух примыкающих к нему граней. Таких возможных поворотов – самосовмещений всего существует 4P, где P – число ребер многогранника.

При этом половина из них – повороты вокруг воображаемых осей, соединяющих центр многогранника с его вершинами, серединами ребер и граней на углы, кратные соответственно 2 / q,  и 2 / p, а другая половина – симметрии относительно плоскостей и 'зеркальные повороты'. Указанное 'свойствомаксимальной симметричности' иногда принимают за определение правильного многогранника.

Но человеку, далекому от математики, трудно представить себе геометрическое тело с таким определением. Правильные и полуправильные многогранники.

Слайд 7 Иоганн Кеплер называл куб 'родителем' всех правильных многогранников. На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников. Если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра, а вершины октаэдра – это центры граней куба. Полученные многоугольники действительно правильные, так как их грани – правильные треугольники.

Правильные И Полуправильные Многогранники Презентация

Равенство же двугранных углов следует из того, что при повороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое. Правильные и полуправильные многогранники. Слайд 8 Для того, чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построить отрезок длиной x (пока что это – любая длина) так, чтобы он был параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях.

Середина его должна совпадать с центром грани. Соединим концы этих отрезков между собой, и мы получим двадцатигранник, грани которого – треугольники, и при каждой вершине их пять. Найдем такое число x, при котором все ребра этого многогранника равны, т.

Он правильный. Куб симметричен, то все ребра, не принадлежащие граням куба равны между собой. Примем длину ребра куба за a. Рассмотрим треугольник ABC (рис.

Полуправильные Многогранники Презентация

2), где AC = a – x, BC2 = CD2 + BD2 = 1/4 a2 + 1/4 x2. По теореме Пифагора получаем: AB2 = AC2 + CB2 = ( x2 + a2 + (a – x)2 ) / 4. Приравнивая AB к x, получаем квадратное уравнение: x2 + a x – a2 = 0, откуда x = a ( 5 – 1) / 2. Интересно, что полученный множитель при a, т. Отношение ребра куба к ребру вписанного в него икосаэдра – не что иное, как золотое сечение.

Правильные и полуправильные многогранники. Слайд 9 Теперь докажем равенство двугранных углов. Рассмотрим 5 ребер, выходящих из точки A. Концы их всех равноудалены и от точки A, и от центра куба O.

Отсюда следует, что они лежат на пересечении двух сфер с центрами A и O, а значит – на окружности, причем ребра, соединяющие их с точкой A, равны. Значит, эти пять точек и точка a – вершины правильной пирамиды, а ее двугранные углы при вершине равны. Додекаэдр из икосаэдра можно получить так же, как и октаэдр из куба. Соединяя середины смежных граней икосаэдра, мы получаем правильный пятиугольник.

Всего таких пятиугольников будет 12. Двугранные углы многоугольника будут равны, так как трехгранные углы при его вершинах имеют равные плоские углы. Правильные и полуправильные многогранники. Слайд 10 Правильные многогранники также называют платоновыми телами, хотя они были известны еще за несколько веков до Платона. В одном из своих диалогов Платон связал правильные многоугольники с четырьмя стихиями. Тетраэдру соответствовал огонь, кубу – земля, октаэдру – воздух, икосаэдру – вода.

Додекаэдру соответствовала пятая стихия – эфир. Так называемые полуправильные многогранники связывают с именем Архимеда. Это 13 тел, полученных при усечении правильных многогранников и два бесконечных ряда правильных призм и антипризм с равными ребрами. Правильные и полуправильные многогранники. Слайд 11 В эпоху Возрождения ученый Иоганн Кеплер вслед за Платоном попытался связать правильные многогранники со строением Вселенной.

С большей или меньшей точностью он разместил между сферами, содержащими орбиты шести известных планет, правильные многогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписан в большую. Но имя Кеплера в геометрии прославило открытие двух из четырех правильных звездных тел. Два других в 1809 г. Нашел француз Луи Пуансон. Правильные и полуправильные многогранники. Слайд 16 Архимедовыми телами называются полуправильные, однородные выпуклые многогранники, т.е. Выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов ( этим они отличаются от Платоновых тел, грани которых правильные многоугольники одного типа).

Открытие четырнадцати полуправильных многогранников приписывается Архимеду ( 287-212 г. ), который впервые перечислил их свойства в не дошедшей до нас работе.

Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа. Теорией этих тел занимался также Кеплер. Тела Архимеда. Слайд 19 Леонардо да Винчи Оригинальный способ пространственного изображения усечённого икосаэдра предложил Леонардо да Винчи. Изображение усечённого икосаэдра мы можем встретить в иллюстрированной Леонардо книге его современника, францисканского монаха и математика Луки Пачоли (1445-1514) «Божественная пропорция» («De Devina Proportione»), изданной в 1509 г. Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности.

Звездчатые Многогранники Презентация

Слайд 21 Гравюру с изображением усеченного икосаэдра Леонардо предваряет надписью по латыни Ycocedron Abscisus (усеченный икосаэдр) Vacuus. Термин Vacuus обозначает тот факт, что грани многогранника изображены «пустыми» — не сплошными. Строго говоря, грани не изображаются вовсе, они существуют только в нашем воображении.

Зато ребра многогранника изображены не геометрическими линиями (которые, как известно, не имеют ни ширины, ни толщины), а жесткими трехмерными сегментами. Обе эти особенности данной гравюры и составляют основу способа пространственного изображения многогранников, изобретенного Леонардо для иллюстрации книги Луки Пачоли и называемого сегодня методом жестких (или сплошных) ребер. Такая техника позволяет зрителю, во-первых, безошибочно определить, какие из ребер принадлежат передним, а какие — задним граням многогранника (что практически невозможно при изображении ребер геометрическими линиями), и, во-вторых, взглянуть как бы сквозь геометрическое тело, ощутить его в перспективе, глубине, которые теряются при использовании техники сплошных граней. Леонардо да Винчи.